固定翼飞行器动力学分析

前言：固定翼飞行器相对多旋翼飞行器具有载荷大、航程远等特性，在B端、C端、M端皆占大半江山。此次新年之际，笔者亲手搭建了一台性价比较高的“冲浪者”，并且尝试一下午就成功使用日本手首飞成功，有些玩航模的朋友夸俺天赋好😆但这其实离不开笔者在上手之前学习的固定翼相关空气动力学，所以个人认为很有必要记录一下，以便日后其他小伙伴借鉴快速入门

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机翼的空气动力特性

为了方便分析，一般取机翼的切面形状进行空气动力学计算，即翼型。

下图为几种常见的翼型，在不同用途的飞行器上有着各自的优势，具体我们留到下方常见翼型特性一节讲解分析。

笔者玩的冲浪者主机翼显然采用的是超临界型翼型设计，下图展示的为将机翼拆下后翅根处的截面。（都这么努力了😁是不是要扫描文末的二维码请咖啡呀☕）

接下来，对翼型进行理论分析，介绍各项重要参数以及升力计算方法。图中，贯穿中央的水平实直线名为展弦；还有一根从前缘到后缘，贯穿内切圆圆心的虚线名为中弧线；翼型的上包实线名为上弧线；翼型的下包实线名为下弧线；其他关键机械设计参数皆标于图上。

设计参数可引出以下参数：

• 相对弯度：表示翼型的不对称程度，现代飞机的相对弯度为0~2%
  $$
  \overline{f} = \frac{f_{\max}}{c_w} \times 100%
  $$
• 最大弯度位置
  $$
  \overline{x_f} = \frac{x_f}{c_w} \times 100 %
  $$
• 厚弦比：翼型的最大厚度与翼弦的比值，现代飞机参数范围一般3~16%，超声速采用厚弦比较小的薄翼，低速飞机用参数较大的厚翼
  $$
  \overline{c} = \frac{c_{\max}}{c_w} \times 100%
  $$
• 最大厚度位置：该参数同采用相对翼弦的表示法，现代飞机参数范围一般30~50%，亚声速25~30，超声速40~50%
  $$
  \overline{x_c} = \frac{x_c}{c_w} \times 100 %
  $$

还有一个重要的实时参数名为迎角，如下图所示为吹来的气流与机翼的夹角，该参数有正负，一般取翼弦方向为0。正如接下来的计算过程展现的，该参数将极大地影响飞机的升力，并且飞行时大多数工作于正迎角状态。

我们将使用到最简单的伯努利原理：

$$
p_1+\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = p_2+\frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2
$$

NOTE⚠：伯努利方程只能用在粘度忽略、不可压缩的理想流体，所以基于此的分析只能用在低速飞行，超声速飞行后面专门讲解

由于机翼一般较薄，所以如上图所示的流管，在远处来流与翼上切面有关系：
$$
p_\infty + \frac{1}{2} \rho_\infty v^2_\infty = p +\frac{1}{2} \rho v^2
$$

整理：

$$
p-p_\infty = \frac 12 \rho_\infty v^2_\infty - \frac{1}{2} \rho v^2
\\
\frac{p-p_\infty}{\frac 12 \rho_\infty v^2_\infty} = 1-\frac{\rho v^2}{\rho_\infty v^2_\infty}
$$

低速飞行时，密度变化不明显；且根据连续性方程。得到压力系数表示：
$$
\because \rho \simeq \rho_\infty , v_\infty \cdot S_\infty = v \cdot S
\\
\therefore \overline{p} = \frac{p-p_\infty}{\frac 12 \rho_\infty v^2_\infty} \simeq 1-\frac{v^2}{v^2_\infty} = 1-(\frac{S_\infty}{S})^2
$$

重要结论：压力系数只与流管切面积有关，而流管的情况可以通过烟线风洞实验获知。

则此时可以将机翼上表面需要求解的点的压力表示为：

$$
p_{上} = p_\infty + \frac12 \rho v^2_\infty\overline{p}_{上}
$$

下表面表示为：

$$
p_{下} = p_\infty + \frac12 \rho v^2_\infty\overline{p}_{下}
$$

则某个翼型受升力为：

$$
L(b) = \int_0^{c_w} ( p_{下} - p_{上}) \cdot dx
= \int_0^{c_w} \frac12 \rho v^2_\infty ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上} ) \cdot dx
$$

那么想要得到整个机翼受到的升力，在沿翼展方向（垂直于翼型）作积分即可：

$$
F = \int_0^{b_w} L(b) \cdot dy = \int_0^{b_w} \int_0^{c_w} \frac12 \rho v^2_\infty ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot dx \cdot dy
$$

总结一下：要设计出一个好的机翼，首先要先搞到每个点的压力系数，然后作二维积分；还有：

1. 若飞行器在太空中，没有介质（密度0），无法获得升力；
2. 若飞行器相对介质（空气）速度为0，也无法获得升力；
3. 机翼越大（面积越大），获得的升力越大，所以滑翔机等最求续航的飞行器一般机翼很大；
4. 机翼获得的不一定就是朝机翼向上力！非常显然迎角不同时，力的方向可能是升力也是压力。一般正迎角是升力，但还有特殊情况，比如下面将讲到的失速以及飞机倒飞（压力变升力）

机翼平面形状

上面算的升力公式要作二维积分，对下图所示的各种奇怪形状的机翼来说简直是计算灾难。

在简化计算之前，先介绍几个用来定义机翼平面形状的参数：

• 机翼面积$S$：机翼垂直投影面积大小
• 翼展$b_w$：机翼最左翼尖到最右翼尖之间距离
• 平均翼弦
  $$
  c_w = \frac{S}{b_w}
  $$
• 展弦比$\lambda$：翼展$b_w$与平均翼弦$c_w$之比，现代歼击机范围2~5，轰炸机、运输机7~12，滑翔机12~16
• 根尖比$\eta$：机翼根部（靠近机身）的翼弦$c_g$于位于翼尖处翼弦$c_s$之比
• 后掠角$\chi$：这个参数常见于讨论一些外型炫酷的后掠翼现代飞机，具体吧又有很多种后掠角，比如下图中标有的前缘后掠角$\chi_0$，1/4弦线后掠角$\chi_{0.25}$，后缘后掠角$\chi_1$
• 平均空气动力弦$c_A$：对后掠翼这种从翼根到翼尖一直在变化的形状计算升力，简直是灾难，所以人们定义了该参数，假设存在一个等效的矩形机翼（等效要求：面积相同、俯仰力矩相同、气动力合力相同）。这样呢，一次设计，多次使用，不然风洞一吹多贵啊，超算一开更贵

升力系数

有了平均空气动力弦，原本升力公式就可以简化为：

$$
F = \frac12 \rho v^2_\infty c_A \int_0^{c_w} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot dx
\\
\overset{\overline{x}=\frac{x}{c_w}}{=}
\frac12 \rho v^2_\infty c_A c_w \int_0^{1} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot d\overline{x}
$$

所以我们提出升力系数：

$$
C_L = \int_0^{1} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot d\overline{x}
$$

再用等效机翼面积替换$c_A c_w$，得到：

$$
F = C_L \cdot \frac{1}{2} \rho v^2_\infty S
$$

这样嘞，就可以为移植机翼提供一个参考了。比如同一款机翼，缩放后升力系数是一样的。并且，我们可以测定绘制出下图所示的升力系数随迎角变化的规律，$\delta$是襟翼角度。

这里注意几个一般性原则：

• 迎角不大时，升力系数与迎角成线性关系
  $$
  C_L = k(\alpha - \alpha_0)
  $$
• 迎角较大时，升力系数导数随迎角增大开始减小
• 迎角越过某个临界迎角时，升力系数导数开始变为负

还有几个关键的参数：

• 零升力迎角$\alpha_0$：不同翼型该参数不同，与相对弯度参数相关性很大，对称翼型的$\alpha_0 = 0$
• 临界迎角$\alpha_{临}$与对应的$C_{L-\max}$：主要与相对弯度、最大弯度位置、厚弦比、前缘半径有关

失速

1. 小迎角时：机翼上表面最低压力点靠后，涡流区小
2. 逐渐增大迎角：最低压力点前移，涡流区扩大
3. 迎角增大至临界迎角：分离点急速前移，涡流区急剧扩大，气流贴着机翼表面稳定流动被破坏
4. 继续增大迎角：升力降低+阻力急剧增大，飞机剧烈抖动，高度快速下降，前进速度锐减（特别离谱的会坠入螺旋）

所以，失速迎角就是临界迎角。

翼尖涡流

如下图所示，机翼正常工作时，下表面的压力大于上表面的压力，所以气流会绕过翼尖流到上表面，形成了翼尖涡流。

下图所示，是大型客机降落时产生的涡流。所以机场的飞机起飞和降落时，机与机之间需要等待一段时间，直至上一架产生的涡流衰减至不影响安全飞行。

同样的，冲浪者的机翼设计也是充分考虑到了翼尖涡流，做成两边翘起的形状，这样可以较好地减小涡流作用带来的诱导阻力。

副翼与襟翼

冲浪者的主机翼控制较为简单，只有靠近翅膀端点处的副翼（提供横滚控制）。而复杂的现代飞行器，如下图一般由副翼、襟翼、扰流板等构成。

为了提供较大的横滚力矩（$\vec T = \vec F\times \vec l$），所以副翼一般设置在靠近主机翼外侧；而襟翼（下图所示各种常见结构）是为了在降落或起飞时提供大的升力，而又不产生影响稳定性的力矩，所以一般靠近内部；扰流板从结构上来看，方向与襟翼相反，所以在降落的时候打开，可以抵消大量升力，同时又提供了大量阻力，使得减速更快。

常见翼型特性

推荐一个软件：profili，这里面有很多大组织开源的翼型参考设计。

这玩意我也还在琢磨中，因为论文上说超临界翼型超声速性能更好（激波少），但是冲浪者是属于滑翔机类型，所以笔者后续边玩边学，搞清楚了再写哈😄

固定翼飞行控制原理

在开始之前，我们先补充一下常规飞机的尾部控制结构，如下图分别是：

1. 方向舵：位于垂直尾翼（对称翼型）上，控制飞行器的左右偏转
2. 升降舵：位于水平尾翼（不一定是对称翼型）上，控制飞行器抬头和低头

如下图所示，当升降舵向下偏转时，产生向上的升力，此时相对飞机的重心来说提供的力矩使飞机低头；当升降舵向上时，同理受力，飞机抬头。这里注意，左右升降舵是同向运动的（如果左右平尾升力不同，会给飞机一个横滚力矩，并且是多少会出现的）。

下图所示是方向舵工作原理，舵面左偏（从机身后向前看）则垂尾压力向右，到飞机的重心产生的力矩使飞机整体向左转；同理，舵面右偏，飞机右转。

横滚舵，就是主机翼的副翼，之前已经说过原理不再赘述。需要值得一提的是，根据网友经验以及笔者亲测，对于冲浪者这类飞行器来说，打方向舵效果在低速的时候转向效果不明显，如果需要大幅度地回旋，建议采用：

1. 往预偏转方向横滚机身，使原本朝上的升力倾斜（可分解为水平的向心力和垂直的部分升力）
2. 理论上此时升力必定比原本小，所以操作升降舵抬高机头，获得更多的升力；或者适当加大油门

高速飞行特性

为了不误人子弟，研究透了再补充这一部分。并且玩航模一般也玩不到声速吧

参考文献

• 李国辉. 飞行原理与仿真建模.北京理工大学出版社.
• 刘子敬. 超临界翼型优化设计关键技术研究[D].南京航空航天大学,2018.DOI:10.27239/d.cnki.gnhhu.2018.000265.
• 陆超. 翼型改型对超临界翼型气动性能影响的研究[D].沈阳航空工业学院,2009.