相机针孔模型&内参矩阵&标定

本文是笔者的CV处女篇，聊聊最基础的相机（针孔）模型和该模型下对应的内参数矩阵，最后分享一下用Matlab标定内参矩阵的工具

针孔相机模型

对！就是初中生都知道的小孔成像原理，如上图所示：可以把相机内部的感光面抽象为像素平面，镜头抽象为光心和对应的焦距。坐标轴的标准定义如上图，z轴为相机正向，y向下，xyz满足右手螺旋。

那么根据三角相似原理，有：

$$
\frac Z f = -\frac{X}{X’}= -\frac{Y}{Y’}
$$

图中负号对应于物理上的倒像。那么为了简化模型，我们可以作如下对称等效处理及归一化处理

那么，去掉负号并且整理：

$$
X’ = f \frac{X}{Z}
\
Y’ = f \frac{Y}{Z}
$$

内参数矩阵

在最后读取相机（感光面）数据的时候，得到的相当于是一个（存储像素数据的）二维数组，那么就建立一个面——像素平面，如下图

显然像素平面坐标系和物理成像平面有线性变换关系

$$
x = \alpha \cdot X’ + Cx
\
y = \beta \cdot Y’ + Cy
$$

则把上面的针孔模型方程带进来有：

$$
x = \alpha \cdot f \frac{X}{Z} + Cx = f_x \frac{X}{Z} + Cx
\
y = \beta \cdot f \frac{Y}{Z} + Cy = f_y \frac{Y}{Z} + Cy
$$

让我们用矩阵表示来美化上面的方程：

$$
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{Z}
\begin{bmatrix}
f_x & 0 & c_x \\
0 & f_y & c_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X \\ Y \\ Z
\end{bmatrix}
$$

上面各个矩阵的物理意义：

$$
齐次像素坐标
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{bmatrix}
\\
物距Z
\\
相机内参数矩阵
\mathbf{K} = \begin{bmatrix}
f_x & 0 & c_x \\
0 & f_y & c_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\\
相机坐标
\mathbf{P} =
\begin{bmatrix}
X \\ Y \\ Z
\end{bmatrix}
$$

Matlab标定相机

相机的标定，除了上述的内参矩阵外，还有外参矩阵和畸变系数（这两套参数后面讨论）

Matlab支持“张正友棋盘标定法”，对！🎈这是我国学者发明的算法，只需要打印一张黑白格子交错的纸（如下图，是笔者对mi10手机标定拍的照片）

附：棋盘格图像生成matlab算法

%% 参数设置
GridSize = 100;  %格子的宽度，单位:像素
row =10;           %行
col = 6;          %列
margin = 10;    %四边留白

%% 预分配内存
I = ones(row*GridSize+2*margin, col*GridSize+2*margin)*255;

%% 图像赋值
for i = 1:row
    if mod(i,2)==1
        for j = 1:col
            if mod(j,2)==1
                I(1+(i-1)*GridSize+margin:i*GridSize+margin, ...
                1+(j-1)*GridSize+margin:j*GridSize+margin) = 0;
            end
        end
    else
        for j = 1:col
            if mod(j,2)==0
            I(1+(i-1)*GridSize+margin:i*GridSize+margin,...
                1+(j-1)*GridSize+margin:j*GridSize+margin) = 0;
            end
        end
    end
end

%% 显示、保存
imshow(I);
imwrite(I,'chessboard.bmp');

1. 打开matlab中的“Camera Calibrator”工具箱

   

2. 导入相机拍摄图像

   

3. 按照提示输入实际测量的格子宽度

   

4. 让matlab自动标定

   

5. 导出数据

   

6. 在matlab工作区中可查看标定数据，有：

   • camera Intrinsic：内参矩阵
   • camera Extrinsic：外参矩阵
   • Accuracy of Estimation：估计准确度
   • NumRadialDistortionCoefficients：径向畸变系数
   • EstimateTangentialDistortion：切向畸变估计

   

OpenCV相机矫正

根据上法得到的相机参数矩阵，则实际项目使用可以在OpenCV中对相机读取到的照片进行非线性矫正。

下附C++版本的图像矫正，如果是python也是undistort接口。

// 定义相机矩阵，畸变矩阵
Mat cameraMatrix;
Mat distCoeffs;
// 直接手打输入标定参数即可；也可以OpenCV自己计算标定求解
// 当然，笔者个人比较推荐用操作JSON文件的方法自动化导入参数

// 输入图像，矫正后图像，相机矩阵，畸变矩阵
undistort(source_image, resault_image, cameraMatrix, distCoeffs)

参考文献

• 《视觉SLAM十四讲——从理论到实践》——高翔

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