高频小信号放大器

在高频情况下，晶体管放大器必须要考虑极间电容和引脚电感带来的高频影响。相对于现代通信科技，也许这里的高频用的不是很恰当，严谨来说，本文中论述的放大器模型适用的为MHz级别放大器

指标声明

• 电压增益
  $$
  A_v = 20 \log \frac{V_o}{V_i}
  $$
• 功率增益
  $$
  A_P = 10 \log \frac{P_o}{P_i}
  $$
• 通频带

  3dB处为截止点
  $$
  B = 2 \Delta f_{0.7}
  $$

• 矩形系数

  可以按照需求选取参考点
  $$
  K_{r0.1} = \frac{2\Delta f_{0.1}}{2\Delta f_{0.7}}
  $$

• 抑制比
  $$
  d_n = 20 \log \frac{谐振增益A_0}{干扰增益A_n}
  $$
• 噪声系数
  $$
  N = \frac{ 输入信噪比 \frac{P_{si}}{P_{ni}} }{输出信噪比 \frac{P_{so}}{P_{no}} }
  $$

三极管物理模型等效电路

如上图所示，将晶体三极管进行分布式参数建模。图中参数意义为：

$$
基极电阻r_{bb’} \\
发射结电阻r_{b’e} = \beta_0 \frac{26}{I_e} \\
发射结电导g_{b’e} = \frac{1}{r_{b’e}} \\
发射结电容C_{b’e} = C_j + C_D \\
集电结电阻r_{b’c} \\
集电结电容C_{b’c} = C_j + C_D \\
等效放大电流源 g_mV_{b’e} \\
集射极电阻r_{ce}
$$

• 晶体三极管放大跨导
  $$
  g_m = \frac{I_C}{V_{b’e}} = \frac{\beta_0}{r_{b’e}} = \frac{I_e}{26}
  $$

在实际运算中，从数量级上考虑可以省去：发射结电导、集电极电阻、集射极电阻

晶体三极管谐振放大器

该电路需采用负压供电（当然，我觉得可以总体电平抬一抬再设计一个电路），右上角为常见的LC谐振回路作为输出，可将该电路进行小信号等效分析如下：

图中对三极管进行了Y参数模型等效

从集电极C向右侧看去，有等效导纳：

$$
Y_L’ = \frac{1}{P_1^2} (g_p + j\omega C + \frac{1}{j\omega L}+P^2_2 y_{ie2})
$$

由图中关系可知集电极关系：

$$
\dot I_c = y_{fe}\dot V_i + y_{oe} \\
\dot I_c = -\dot V_c Y_L’
\\ \Rightarrow
\dot V_c = -\frac{y_{fe}}{y_{oe}+Y_L’} \dot V_i
$$

基极关系：

$$
\dot{I_b} = y_{ie} \dot{V_i} + y_{re}\dot{V_c}
\\ \Rightarrow
\dot{I_b} = ( y_{ie} - \frac{y_{fe}y_{re}}{y_{oe}+Y_L’} )\dot{V_i} = Y_i\cdot \dot{V_i}
$$

注意上式中的反馈导纳（分式）

• 电压增益

  显然耦合电路部分有：
  $$
  \dot{V_o} = \frac{P_2}{P_1} \dot{V_c}
  $$
  从上对集电极的分析可知：
  $$
  \dot{A_v}=\frac{\dot{V_o}}{\dot{V_i}} = -\frac{P_2\cdot y_{fe}}{P_1\cdot (y_{oe}+Y_L’)}
  $$
  对输入输出导纳进行虚实形式分解
  $$
  y_{oe} = g_{oe} + j\omega C_{oe} \\
  y_{ie2} = g_{ie2} + j\omega C_{ie2}
  $$
  则有
  $$
  \dot{A_v} = -\frac{P_1P_2y_{fe}}{g_{\sum} + j\omega C_{\sum} +\frac{1}{j\omega L}}
  = \frac{-P_1P_2y_{fe}}{g_{\sum}[1+j\frac{2Q_L\cdot \Delta f}{f_0}]}
  \\
  Q_L = \frac{\omega_0C_{\sum}}{g_{\sum}},
  f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{\sum}}},
  \Delta f = f-f_0
  \\
  g_{\sum} = g_p + P_1^2 g_{oe} + P_2^2 g_{ie2},
  C_{\sum} = C+ P_1^2C_{oe} + P^2_2 C_{ie2}
  $$

  注意观察：增益A和品质因数Q是互相矛盾的一对参数
  谐振时
  $$
  A_{v0} = -\frac{P_1P_2y_{fe}}{g_{\sum}}
  $$

• 功率增益
  $$
  A_{P0} = (A_{v0})^2 \frac{g_{ie2}}{g_{ie1}}
  $$

• 功率匹配

  条件：
  $$
  P1^2 g_{oe} = P^2_2 g_{ie2}
  $$
  则若不考虑回路自身消耗，有：
  $$
  A_{P0}|{max} = \frac{|y{fe}|^2}{4g_{ie}g_{oe}}
  $$

• 通频带曲线
  $$
  |\frac{A_v}{A_{v0}}| = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2Q_L\Delta f}{f_0}^2 }}
  $$
  有通带
  $$
  B = 2\Delta f_{0.7} = \frac{f_0}{Q_L}
  $$
  可推导
  $$
  A_{v0} = \frac{-P_1P_2y_{fe}}{4\pi \Delta f_{0.7} C_{\sum}}
  $$

  增益带宽积是一常数！

• 矩形系数
  $$
  K_{r0.1} = \sqrt{10^2 -1}
  $$

  可见单级放大器选择性差