非线性系统——等效增益分析

前言：在经典线性系统的控制分析中，常常使用根轨迹法进行稳定性和响应分析，同样的该方法也适用于非线性系统。下面对该分析方法的讨论都是基于带饱和的线性系统进行讨论，在其他非线性系统中要使用该方法需要灵活变通

饱和系统

本质上来说，实际物理世界中的一切控制对象、控制器都是有一定输入信号范围和输出作用范围。可以把这种范围理解为饱和特性，如下图所示

对于上图中的特性曲线，很容易对应到的实际物理器件有：

1. 节流阀
   
2. 继电器
   
3. 比较器
4. B类功放
5. 有装配间隙的弹簧
6. ADC和DAC

等效增益根轨迹分析法

考虑如下一个有饱和特性的非线性系统

该系统的闭环传递函数为（不饱和）：

$$
T(s)=\frac{K\cdot\frac{s^2+2s+1}{s^3}}{1+K\cdot\frac{s^2+2s+1}{s^3}}
$$

则该系统的特征函数为：

$$
1+K\cdot\frac{s^2+2s+1}{s^3}=0
$$

在饱和情况下，即误差信号的增大并不使得控制器的输出（饱和器）增大，也就可以相当于是增益K的下降

核心思想🧐：依据变增益的等效方法绘制根轨迹

若饱和器的输出范围特性为：

$$
Sat(x)=\begin{cases}
x, & -a\leq x \leq a \\
-a, & x\leq -a \\
a, & a\leq x
\end{cases}
$$

则等效增益显然为

$$
K_n(u)=\begin{cases}
K, & |u|\le\frac{a}{K} \\
\frac{a}{|u|}, & |u|\ge \frac{a}{K}
\end{cases}
$$

对该系统的特征方程，绘制出根轨迹

附Matlab命令：

num = [1 2 1];  %分子项
den = [1 0 0 0];    %分母项
sys= tf(num,den)    %特征传递函数建立
rlocus(sys)         %根轨迹

考虑根轨迹的特性：从极点出发，止于零点和无穷远点。则从图上可见，当等效增益小到一定程度时，会引起系统不稳定。也就是说，当误差（or阶跃输入）大到一定程度，该闭环反馈系统将无法自行稳定，将逐渐发散。

带参数测试

对上图中的常量比例K和饱和器给出准确的参数：

$$
K = 2 \\
Sat(x)=\begin{cases}
x, & -1\leq x \leq 1 \\
-1, & x\leq -1 \\
1, & 1\leq x
\end{cases}
$$

在matlab中，对该系统进行阶跃响应测试：

1. 幅度为3的阶跃响应

   

2. 幅度为4的阶跃响应

   

可见从0幅度逐渐加大阶跃输入，系统会在某个点开始不稳定，且临界稳定条件就出现在阶跃3至阶跃4之间。

参考文献

• 《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》——Gene F.Franklin[美]

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