非线性系统——小信号分析

前言：在现实世界中，存在许多非线性元件。比如最常见的半导体元件，二极管VI曲线、三极管特性曲线都是非线性特性；机械元件中，电磁阀就是二值型元件；而在电机驱动、开关电源等使用MOS管的功率场合，为了减小MOS管的损耗，一般采用PWM驱动

非线性系统的研究方法非常多样复杂，笔者将不断学习，并分为数篇文章讨论。本文中讨论最为基础的小信号分析法，该方法对于doubleE来说是非常熟悉的了，一般模电书讲解三极管放大电路都是采用的该模型

原理推导与理解

对于一个非线性系统，有如下非线性状态方程

$$
\dot{\vec{x}} =f(\vec{x},u)
$$

取一个感兴趣的平衡点

$$
\dot{\vec{x}}_0=f(\vec{x}_0,u_0)
$$

平衡点在三极管放大电路中，也就是静态工作点

在平衡点附近的（小信号）变量为：

$$
\vec{x}=\vec{x}_0+\Delta \vec{x} \\
u=u_0+\Delta u
$$

则在平衡点附近可以展开为

$$
\dot{\vec{x}}_0+\Delta \dot{\vec{x}} \simeq f(\vec{x}_0,u_0)+\mathbf{F}\Delta \vec{x}+\mathbf{G}\Delta \vec{u} \\
$$

线性化的状态方程系统矩阵F为

$$
\mathbf{F}=\frac{\partial f}{\partial \vec{x}}|_{x_0,u_0}
$$

线性化的状态方程输入矩阵G为

$$
\mathbf{G}=\frac{\partial f}{\partial u}|_{x_0,u_0}
$$

则该点附近的小信号模型为

$$
\Delta \dot{\vec{x}}=\mathbf{F}\Delta \vec{x}+\mathbf{G}\Delta u
$$

在单摆运动中，在摆动角度很小的时候，可以将sin特性的传递函数等效为线性函数
$$
sin\theta \simeq \theta
$$
这就是小信号模型

举个有意思的粒子

在重型机械场合，为了减小摩擦，可采用上图所示的磁悬浮轴承，就像磁悬浮列车一样，采用了这种轴承使得摩檫力可忽略不计！🌌但是在负载不定的情况，要保持轴承固定，需要通过反馈系统改变线圈电流，使得轴承中心控制在正确位置范围

将系统简化为实验室中可测定的模型：

对于悬浮球，有运动方程

$$
m\ddot{x}=f_M(x,i)-mg
$$

一般来说，不仅仅因为磁场力是非线性系统（反平方），还因为实际磁场与理论模型偏差过大，所以常采用实验测量的方式进行设计。对于上图给定的实验确定磁力曲线（直径1cm，质量8.4g悬浮球），可以直接采用小信号模型：

$$
f_M(x_1+\Delta x,i_2+\Delta i)\simeq f_M(x_1,i_2)+K_x\Delta x +K_i\Delta i
$$

从图中电流曲线，取切线斜率可得

$$
K_x=14N/m
$$

而电流影响系数，取临近的上下曲线做定点近似

$$
\because \exists \begin{cases}
i_1=700mA, & F_1=122\times 10^{-3}N \\
i_3=500MA, & F_3=42\times 10^{-3}N
\end{cases} |x=x_1
\\ \therefore K_i\simeq \frac{122\times 10^{-3}-42\times 10^{-3}}{700-500}=0.4N/A
\\ \therefore
f_M \simeq 82\times10^{-3}+14\Delta x+0.4 \Delta i
$$

在实际系统设计中，需要考虑是否可以使用小信号模型，还是举三极管放大的例子，当输入信号超出一定范围会发生信号失真！☢对于本例中讨论的例子，由于轴承的中心轴线基本不变，且负载变化不是特别大，所以小信号模型是适用的

参考文献

• 《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》——Gene F.Franklin[美]