数字控制

前言：一般的控制系统分析常是基于拉普拉斯变换分析，也就是连续时间系统。对控制器相应的实现方法，即为使用连续时间器件去搭建，比如：使用运放和电阻电容搭一个模拟PI控制器。在现代控制中，由于微控制器的价格低廉易于开发且大幅度减小系统体积等原因，模拟控制器已经基本被数字控制器取代，所以分析数字控制器是很有必要的

本文中，笔者将内容分为两大部分：将求得的模拟控制器转化/等效为数字控制器，以及直接分析数字系统得出数字控制器。

数字控制系统

传统连续反馈控制系统：

离散反馈控制系统：

这两个基础反馈模型已经上传至笔者的Github仓库：
simulinkModel

离散控制系统相对于连续系统来说，在硬件上不只将模拟控制器换成了微控制器，还加入了两种关键器件：ADC和DAC。下面将会讨论到设计数字控制器时，对ADC和DAC的参数要求（主要为采样率）

连续系统和离散系统的关系

对于连续系统，微分式有Laplace变换为：

$$
\because \mathcal{L}{f(t)}=F(s)
\\ \therefore
\mathcal{L}{\dot{f}(t)} = sF(s)
$$

而离散系统，延迟和差分的Z变换为：

$$
\because \mathcal{Z}{f[k]}=F(z)
\\ \therefore
\mathcal{Z}{f[k-1]}=z^{-1}F(z) \\
\mathcal{Z}{f[k]-f[k-1]}=(1-z^{-1})F(z)
$$

NOTE：🧐连续系统的微分对应着离散系统的差分，积分对应累加

现在考虑一个连续信号为：

$$
f(t)=e^{-at},t>0 \\
\mathcal{L}(f)=F(s)=\frac{1}{s+a}
$$

若对其做离散采样，得到信号为：

$$
f[k]=f(kT) \\
F(z)=\mathcal{Z}(e^{-akT})=\frac{z}{z-e^{-aT}}
$$

相当于原本s域的极点做指数映射到z域，可推广到一般情况：

$$
z=e^{sT}
$$

很容易想到s域的虚轴经过该映射，变成了z域的单位圆

对于离散系统同样有终值定理

$$
\lim_{k\to\infty}x[k]=\lim_{z\to 1}(1-z^{-1})X(z)
$$

离散等效控制系统

本质上来说，等效法都是在已知连续控制器情况下，让离散控制器去逼近连续控制器而已

WARNING：🔥离散采样率最好为25倍的模拟控制器带宽

Tustin

首先给出结论，对连续情况下的Laplace式每一处s可直接做代数替换：

$$
s=\frac{2}{T}(\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}})
$$

举一个例子不严谨证明一下：

$$
\frac{Y(s)}{E(s)}=\frac{1}{s} \\
y(t)=\int e(t)dt
$$

做离散采样

$$
y(kT)=\int_0^{kT-T}e(t)dt+\int_{kT-T}^{kT} e(t)dt
$$

对右边的第二个积分式做梯形近似

$$
\int_{kT-T}^{kT} e(t)dt \simeq \frac{1}{2}[e(kT)+e(kT-T)]\cdot T
$$

那么离散信号也就很简单近似为

$$
y[k]=y[k-1]+\frac{T}{2}(e[k-1]+e[k])
$$

做z变换

$$
\frac{Y(z)}{E(z)}=\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}
$$

零极点匹配法（Matched Pole-Zero）

转换步骤：

1. 零极点映射

   $$
   z=e^{sT}
   $$

2. 若分子阶数小于分母阶数，直接在分子中加入(z+1)的幂项，使得分子分母等阶

3. 调节比例系数，使得变换后的离散控制器和原本的控制器直流增益相同

举个粒子

有一个连续控制器

$$
D(s)=K_c\frac{s+a}{s(s+b)} \\
$$

等效后的形式为

$$
D(z)=K_d\frac{(z-e^{-aT})\cdot(z+1)}{(z-1)(z-e^{-bT})}
$$

为了直流增益相同

$$
\lim_{s\to 0}K_c\frac{s+a}{s+b}=\lim_{z\to 1}K_d\frac{(z-e^{-aT})\cdot(z+1)}{z(z-e^{-bT})}
\\ \Rightarrow
K_c\frac{a}{b}=2K_d\frac{1-e^{-aT}}{1-e^{-bT}}
$$

在求得系数后，就可以推导出时域的表达式了

$$
D(z)=K_d\frac{(1-\frac{z_1}{z})\cdot(1+\frac{1}{z})}{(1-\frac{1}{z})\cdot(1-\frac{p_1}{z})}=K_d\frac{1+a\frac{1}{z}+b\frac{1}{z^2}}{1+c\frac{1}{z}+d\frac{1}{z^2}} \\ \Rightarrow
y[k]=K_d(e[k]+a\cdot e[k-1]+b\cdot e[k-2])-c\cdot y[k-1]-d\cdot y[k-2]
$$

改进的MPZ（Modified MPZ）

本质上，就是MPZ法中的第二步，改为使得调整阶次后的控制器分式，分子比分母少一阶

好处：⚙在MMP中，由于是分子分母等阶的，所以逆变换到时域里总有e[k]存在，也就是说离散计算需要当前时刻（输出时刻）的误差，而这有时候是做不到的（ADC和DAC也是需要转换时间的对吧😜）。所以，通过降低分子阶次，就把e[k]消掉了（口算就能证明）

直接数字控制设计

在等效法介绍之首，就强调了采样率的问题，若可用的硬件采样条件甚至不能达到10倍的模拟控制器带宽时，则用数字分析设计法更为恰当（因为等效法基本作废）

在离散情况下，如文初的第二张图，受控对象的输入为DAC的输出信号，也就是离散的阶梯信号。不加证明的给出，受控对象做离散化之后的传递函数为：

$$
G(z)=(1-z^{-1})\mathcal{Z}(\frac{G(s)}{s})
$$

则可把离散系统等效为下图：

接着可用和连续系统类似的方法设计控制器，但注意根轨迹是以单位元为稳定边界！

离散设计元素

比例控制

$$
u[k]=K\cdot e[k] \Rightarrow D(z)=K
$$

微分控制

$$
u[k]=KT_D(e[k]-e[k-1]) \Rightarrow D(z)=KT_D\frac{z-1}{z}
$$

积分控制

$$
u[k]=u[k-1]+\frac{K_p}{T_I}e[k] \Rightarrow D(z)=\frac{K_p}{T_I}(\frac{z}{z-1})
$$

超前补偿

$$
u[k+1]=\beta\cdot u[k] +K(e[k+1]-\alpha\cdot e[k]) \Rightarrow D(z)=K\frac{1-\alpha z^{-1}}{1-\beta z^{-1}}
$$