控制系统类型

前言：在上一篇文章中，讨论了反馈系统的分析，但是反馈系统到底可以容忍什么信号，在什么范围内可以做到系统稳定、无误差？

系统输入类型（多项式）

已知基础多项式元式的拉普拉斯变换

$$
\frac{t^k}{k!}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s^{k+1}}
$$

1. 位置输入（“0”型）

   当多项式的最高阶为次数k=0时，也就是系统的输入是常数时（时域上看为单位阶跃信号）Laplace变换为：

   $$
   Cu(t) \leftrightarrow C\frac{1}{s}
   $$

   也就是说输入一个频域上一阶的信号相当于输入一个常量（理解为固定位置）

2. 速度输入（“1”型）

   当多项式次数k=1时（时域上看为单位斜坡信号）
   $$
   Ct\cdot u(t)\leftrightarrow C\frac{1}{s^2}
   $$
   注意物理学里对（输入）常量速度的积分，就是一次多项式，所以叫做速度输入

3. 加速度输入（“2”型）

   同理，物理学中对常量加速度的积分得到位置，是二次多项式，所以叫做加速度输入
   $$
   Ct^2\cdot u(t) \leftrightarrow C\frac{1}{s^3}
   $$

4. 更高阶

反馈系统框图

依旧采用反馈系统分析中的基本反馈框图，进行讨论

反馈系统稳定输入类型

在上一篇文章中，分析出反馈系统的误差方程为

$$
E=\frac{1}{1+GD}R=SR
$$

系统的输入信号为多项式时，即

$$
r=\frac{t^k}{k!}u(t)
$$

由终值定理可得稳定状态误差为

$$
\lim_{t\to \infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0}s\frac{1}{1+GD}\frac{1}{s^{k+1}}
$$

0型系统

当系统输入为阶跃信号（0型信号）时

$$
e=\lim_{s\to 0}s\frac{1}{1+GD}\frac{1}{s}=\frac{1}{1+GD(0)}
$$

所以，当闭环增益GD在原点处没有极点时，定义系统的位置误差常数为

$$
K_p=GD(0)
$$

系统误差为

$$
e=\frac{1}{1+K_p}
$$

该系统即为0型系统，只能跟踪0阶多项式。若输入是一阶或更高阶的信号，那么该系统将无穷发散（不稳定）

n型系统

沿引1型系统的计算，假若GD在原点处有n阶极点

$$
\exist T(s),\lim_{s\to 0} T(s) = K_n < \infty \\
GD=\frac{T(s)}{s^n}
$$

系统有几个积分器，也就相当于n有多少阶，从电路层面很好理解

那么对于多项式输入，有稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0}s\frac{1}{1+\frac{T(s)}{s^n}}\frac{1}{s^{k+1}} = \frac{s^n}{s^n+K_n}\frac{1}{s^k}
$$

从上式中可总结出，对于n型系统对输入的跟踪误差情况为

$$
\begin{matrix}
n>k, & e=0 \\
n=k=0, & e=\frac{1}{1+K_n} \\
n=k\neq 0, & e=\frac{1}{K_n} \\
n<k, & e\to \infty
\end{matrix}
$$

一般反馈系统

已知系统的闭环传递函数为

$$
\frac{Y(s)}{R(s)}=T(s)
$$

所以误差函数为

$$
\frac{E(s)}{R(s)}=1-T(s)
$$

输入一个k阶多项式信号，那么稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0} s\frac{1-T(s)}{s^{k+1}}
$$

反馈系统的稳定误差校正类型

定义的方法同输入稳定类型，对n阶干扰输入导致稳态误差为常数，系统就是n型校正系统

假设系统的参考输入信号为0，则系统的干扰-误差传递函数为

$$
\frac{E(s)}{W(s)}=T(s)
$$

若在原点存在n阶零点

$$
T(s)=s^n\cdot T_0(s)\\
T_0(s)=\frac{1}{K_n}
$$

则系统对于k次多项式的干扰输入信号，稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0} sT(s)\frac{1}{s^{k+1}}=\lim_{s\to 0}T_0(s)\frac{s^n}{s^k}
$$

Truxal误差常数计算公式

该方法仅适合于计算1型系统的速度误差常数（1型常数）

一个1型系统的闭环传递函数为

$$
T=K\frac{\prod^m_{i=1}(s-z_i)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)}
$$

首先给出结论，系统的速度误差常数有

$$
\frac{1}{K_v}=-\sum^n_{i=1}\frac{1}{p_i}+\sum^m_{i=1}\frac{1}{z_i}
$$

显然极点的半径越大，则速度常数越大

Truxal公式推导

由于1型系统对阶跃输入信号（0型）的误差为0，所以

$$
T(0)=1
$$

对单位斜坡输入的误差为

$$
E(s)=\frac{1-T(s)}{s^2}
$$

单位斜坡输入有稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0}\frac{1-T(s)}{s}=-\lim_{s\to 0}\frac{dT(s)}{ds}=\frac{1}{K_v}
$$

由上推出的传递函数零点值可得

$$
\frac{1}{K_v}=-\lim_{s\to 0}\frac{dT(s)}{ds}\frac{1}{T(s)}=-\lim_{s\to 0}\frac{d}{ds}[\ln T(s)] \\
= -\lim_{s\to 0}\frac{d}{ds}[\ln (K\frac{\prod^m_{i=1}(s-z_i)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)})]=-\sum^n_{i=1}\frac{1}{p_i}+\sum^m_{i=1}\frac{1}{z_i}
$$

参考书目

• 《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》——Gene F.Franklin[美]