反馈控制系统分析

反馈模型

对于上图所示的闭环反馈框图系统，通过叠加原理，可以求得输出信号为

$$
Y=\frac{GD}{1+GD}R+\frac{G}{1+GD}W-\frac{GD}{1+GD}V
$$

在不考虑噪声的情况下，闭环传递函数为
$$
T=\frac{GD}{1+GD}
$$

控制器的输出为

$$
U=\frac{D}{1+GD}R-\frac{GD}{1+GD}W-\frac{D}{1+GD}V
$$

误差（输入和输出的差值）为

$$
E=R-Y=\frac{1}{1+GD}R-\frac{G}{1+GD}W+\frac{GD}{1+GD}V
$$

反馈系统稳定性

从上反馈系统的误差方程可知，系统的极点为：

$$
1+GD=0 \\
$$

设受控对象和控制器传递函数为：

$$
G(s)=\frac{b(s)}{a(s)},D(s)=\frac{c(s)}{d(s)}
$$

则系统的极点为：

$$
a(s)d(s)+b(s)c(s)=0
$$

可见受控对象的极点，在闭环系统中不是极点

反馈系统的灵敏度

若受控对象发生了变化

$$
G+\Delta G
$$

则系统传递函数为

$$
T+\Delta T=\frac{(G+\Delta G)D}{1+(G+\Delta G)D}
$$

可定义受控对象的灵敏度为

$$
\mathcal{S}^T_G=\frac{\frac{\Delta T}{T}}{\frac{\Delta G}{G}} =\frac{G}{T}\frac{d T}{d G} \\
=\frac{G}{\frac{GD}{1+GD}}\frac{(1+GD)D-DGD}{(1+GD)^2}=\frac{1}{1+GD}
$$

也就是说闭环系统下，若增益做的很大，则受控对象的变化带来的传递函数变化很小

反馈校正性

对反馈系统的分析中：

$$
E=\frac{1}{1+GD}R-\frac{G}{1+GD}W+\frac{GD}{1+GD}V
$$

系统噪声项

$$
\frac{G}{1+GD}W
$$

为了减小系统噪声误差，可以增大D

传感器噪声项

$$
\frac{GD}{1+GD}V
$$

若D太大，则该项近似为V，即传感器噪声没有被削弱！

一般来说，传感器噪声在低频处比较少；而系统噪声在低频处相对多。所以D可设计成低频增益较大，高频增益较小

滤波反馈系统

从上述对反馈系统的矫正性中，就已经提到过了传感器等的频率分布特性，实际应用中如上图，一个完整的系统常常是包括滤波器的

对该带滤波反馈控制系统，有输出为

$$
Y=\frac{FDG}{1+DGH}R+\frac{G}{1+DGH}W-\frac{HDG}{1+DGH}V
$$

滤波反馈的灵敏度

采用同样的分析方式，可以得到

$$
\mathcal{S}^T_F = 1 \\
\mathcal{S}^T_G = \frac{1}{1+GDH} \\
\mathcal{S}^T_H = -\frac{GDH}{1+GDH}
$$

参考书目

• 《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》——Gene F.Franklin[美]
• 《Modern Control Systems Twelfth Edition》——Richard C. Dorf[美]