直流电机模型分析

前言：直流电机（DC Motor）是最常见的电机，所以对该模型的分析是后续工作的重要前提。本文将从基础物理原理分析开始，到传递函数及使用Matlab对电机进行建模

本文中公式较多，请耐心等待渲染

直流电机结构简图

直流电机电路模型

图片取自《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》，侵删

变量声明

$$
激励源v_a \\
电流i_a \\
电机等效内阻R_a \\
电机等效电感L_a \\
电机转动感应反电动势e \\
电机转角\theta \\
电机角转速\omega \\
电机转动惯量J_m \\
转轴旋转粘滞系数b \\
电流产生的转矩T \\
转矩常数K_t \\
电动势常数K_e
$$

模型分析

电流通过导线在磁场中产生的（元）力

$$
\vec{F}_\Delta=I\vec{l}\times\vec{B} \\
$$

导线（元）力相对转轴产生的（元）力矩

$$
\vec{T}_\Delta= \vec{r}\times\vec{F}
$$

所有线圈共同产生（合）力矩

$$
\vec{T}=N\cdot\vec{M}_\Delta \\
T=K_t\cdot i_a
$$

线圈在磁场中转动产生的反向电动势（类上，采用元累加法分析）

$$
\because e_\Delta =Blv,v=\omega r=\dot{\theta}r \\
\therefore e=K_e\cdot \dot{\theta}
$$

综上，可以列写总体电路方程为：

$$
L_a\frac{di_a}{dt}+R_ai_a=v_a-K_e\dot{\theta} \\
\underleftrightarrow{L} \\
L_a\cdot sI(s)+R_a\cdot I(s)=V(s)-K_e\cdot s\Theta(s)
$$

对电机的转子进行力矩分析

$$
T-T_f=J_m\cdot\ddot{\theta} \\
\because T_f=b\dot{\theta} \\ \therefore
K_ti_a-b\dot{\theta}=J_m\cdot\ddot{\theta} \\
\underleftrightarrow{L} \\
K_t\cdot I(s)-b\cdot s\Theta(s)=J_m\cdot s^2\Theta(s)
$$

则将该式带入上电路方程，Laplace形式为：

$$
(L_a\cdot s+R_a)\cdot\frac{J_m\cdot s^2+b\cdot s}{K_t}\cdot\Theta(s)=V(s)-K_e\cdot s\cdot\Theta(s) \\ \Rightarrow
\frac{\Theta(s)}{V(s)}=\frac{K_t}{s[(J_ms+b)(L_as+R_a)+K_tK_e]}
$$

激励源和输出转速的关系

利用上推导出的结果and转速和转角的微分关系

$$
\frac{\Theta(s)}{V(s)}=\frac{K_t}{s[(J_ms+b)(L_as+R_a)+K_tK_e]}=\frac{W(s)}{sV(s)} \ \Rightarrow
\frac{W(s)}{V(s)} =\frac{K_t}{(J_ms+b)(L_as+R_a)+K_tK_e}
$$

Matlab@Simulink建模

该模型已经上传至笔者的Github仓库：
simulinkModel