倒立摆力学分析

前言：平衡倒立摆系统是非常经典的自动控制系统，目前国际上最先进的控制技术能做到四阶（我国大连理工大学首个实现）。本文讨论的为一阶倒立摆系统的系统建模，该模型是对平衡倒立摆进行控制的基础工作，也是现在市面上流行的平衡车的工作原理之一。

倒立摆系统简图

变量声明

• 小车

$$
小车所受推力F \\
小车质量M \\
小车运动摩檫力f \\
小车铰链水平受力N \\
小车铰链竖直方向压力P \\
小车水平位置x
$$

• 摆杆

$$
摆杆所受铰链水平作用力N \\
摆杆所受铰链竖直方向支持力P \\
摆杆所受重力G \\
摆杆与竖直方向夹角\theta \\
摆杆质心相对铰链距离l \\
摆杆自身转动惯量I \\
摆杆质量m
$$

受力分析

• 小车水平受力分析

  $$
  \vec{F}+\vec{f}+\vec{N}=M\cdot\vec{a} \\
  \vec{a}=\ddot{x} \\
  \vec{f}=-k\cdot\dot{x}
  $$

  小车竖直方向上的受力，在小车运行轨道不发生明显行变时，可直接视为合力为0

• 摆杆水平受力

  水平所受合力作用结果相当于质心加速度

  $$
  N= m\frac{d^2}{dt^2}(x-l\sin\theta)
  $$

  展开可得

  $$
  N=m\ddot{x}- ml(\cos\theta\cdot\ddot{\theta}- \sin\theta\cdot\dot{\theta}^2)
  $$

则联立上两条件公式：

$$
F=(M+m)\ddot{x}-ml\cdot(\cos\theta\cdot\ddot{\theta}-\sin\theta\cdot\dot{\theta}^2)+f
$$

• 摆杆垂直受力

  $$
  P-G=m\frac{d^2}{dt^2}(l\cos\theta)=-ml(\cos\theta\cdot\dot{\theta}^2-\sin\theta\cdot\ddot{\theta})
  $$

• 整体摆杆的力矩平衡方程为

  $$
  \vec{l}\times\vec{P}+\vec{l}\times\vec{N}+I\ddot{\theta}=0
  $$

  由图中示意图和三角关系可得：

  $$
  l\cdot P\cdot \sin\theta + l\cdot N\cdot \cos\theta+I\ddot{\theta}=0
  $$

则联立上两条件公式和N的表达式有：

$$
(I^2+ml^2)\ddot{\theta}-ml\cdot\ddot{x}\cdot\cos\theta-mgl\cdot\sin\theta= 0
$$

线性化整体系统

当倒立单摆的角度偏离很小时，可做线性化近似：

$$
\lim_{\theta\to0} \cos\theta=1 \\
\lim_{\theta\to0} \sin\theta=\theta \\
(\frac{d\theta}{dt})^2=0
$$

则受力分析方程可近似为：

$$
(I^2+ml^2)\ddot{\theta}-mgl\theta=ml\ddot{x} \\
(m+M)\ddot{x}-ml\ddot{\theta}+f=F
$$

• 代入线性摩檫力

$$
(m+M)\ddot{x}-ml\ddot{\theta}+k\dot{x}=F
$$

• 若摩檫力为伴随噪声(高斯白噪声)的情况

$$
f=k\dot{x}+N_0(t)
$$

该情况需要结合随机过程分析，本文中不论（主要是我现在不会）