现代控制模型——状态空间

前言：对于现代控制系统的分析设计，主要采用“状态空间”方法。而传递函数分析法（根轨迹和频响），为经典控制设计。通过建立状态模型，可以很容易地使用计算机系统进行数值计算仿真；尤其当系统是多输入和多输出的系统时，矩阵形式的状态方程更加易于表达

笔者将内容分为理论篇和应用篇，该篇以理论为主

理论篇内容概要

• 状态空间模型的数学形式
• 状态方程和传输函数的相互转换
• 求解系统响应
• 参考书目

该篇公式较多，请耐心等待渲染

状态空间模型的数学形式

列向量x元素为系统的状态变量
$$
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_n
\end{bmatrix}^T
$$
状态变量方程，输入为u
$$
\dot {\mathbf{x}} =\mathbf{Fx}+\mathbf{G}u
$$
输出方程
$$
y=\mathbf{Hx}+Ju
$$

• 系统矩阵
  $$
  \mathbf{F}^{n\times n}
  $$
• 输入矩阵
  $$
  \mathbf{G}^{n\times1}
  $$
• 输出矩阵
  $$
  \mathbf{H}^{1\times n}
  $$

下面举个微分方程转状态方程的例子

$$
\because \dddot y = -6\ddot{y}-11\dot{y}-6y+6u
$$
定义状态变量为
$$
x_1=\ddot{y},x_2=\dot{y},x_3=y
$$
则可以将微分方程组织为
$$
\dot{x}_1=-6x_1-11x_2-6x_3+6u \\
\dot{x}_2=x_1 \\
\dot{x}_3=x_2
$$
则状态方程为
$$
\mathbf{F}=\begin{bmatrix}
-6 & -11 & -6 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1& 0
\end{bmatrix},
\mathbf{G}=\begin{bmatrix}
6 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix},
\mathbf{H}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},J=0
$$
此处给出该例的Laplace传递函数
$$
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{6}{s^3+6s^2+11s+6}
$$

附上matlab中状态变量矩阵转传递函数的代码

[num,den]=ss2tf(F,G,H,J); %num为分子系数，den为分母系数，都是从高到低
[z,p,k]=ss2zp(F,G,H,J); %转为零极点形式
[z,p,k]=tf2zp(num,den); %传输函数转零极点形式
[F,G,H,J]=tf2ss(num,den); %传输函数转状态方程

状态方程和传输函数的相互转换

• 多项式形式

  已知传输函数形式为
  $$
  \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_1s^{n-1}+b_2s^{n-2}+\cdots+b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n}
  $$
  则有状态空间矩阵为

$$
\mathbf{F}=\begin{bmatrix}
-a_1 & -a_2 & \cdots & \cdots & -a_n \\
1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{bmatrix},
\mathbf{G}=\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{bmatrix}, \\
\mathbf{H}=\begin{bmatrix}
b_1 & b_2 & \cdots & b_n
\end{bmatrix},J=0
$$

该形式又名：控制标准型（control canonical form）

• 零极点形式

  $$
  \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_m)}
  $$
  则有状态空间矩阵为

$$
\mathbf{F}=\begin{bmatrix}
p_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & p_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & p_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & p_m
\end{bmatrix},
\mathbf{G}=\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1
\end{bmatrix}, \\
\mathbf{H}=\begin{bmatrix}
z_1 & z_2 & \cdots & z_m
\end{bmatrix},J=0
$$

该形式又名：模态标准型（modal canonical form）

该形式可以直接从方框图中得到

一般形式转控制标准型

对原有矩阵，进行变量的线性变换

$$
\mathbf{x}=\mathbf{Tz}
$$

1. 构造能控性矩阵(controllability matrix)

$$
\mathcal{C}=\begin{bmatrix}
\mathbf{G} & \mathbf{FG} &\cdots& \mathbf{F}^{n-1}\mathbf{G}
\end{bmatrix}
$$

2. 计算变换矩阵的逆矩阵的最后一行

$$
\mathbf{t}_n=\begin{bmatrix}
0& 0& \cdots &1
\end{bmatrix}\mathcal{C}^{-1}
$$

3. 构造完整的变换矩阵

$$
\mathbf{T}^{-1}=\begin{bmatrix}
\mathbf{t}_n\mathbf{F}^{n-1} \
\mathbf{t}_n\mathbf{F}^{n-2} \
\vdots \
\mathbf{t}_n
\end{bmatrix}
$$

4. 求解新的矩阵（标准控制型）

$$
\mathbf{A}=\mathbf{T^{-1}FT} \
\mathbf{B}=\mathbf{T^{-1}G} \
\mathbf{C}=\mathbf{HT} \
D=J
$$

求解系统响应

$$
\because \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Fx}+\mathbf{G}u \\
\therefore s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0)=\mathbf{FX}(s)+\mathbf{G}U(s) \\
(s\mathbf{I-F})\mathbf{X}(s)=\mathbf{GU}(s)+\mathbf{x}(0) \\
X(s)=(s\mathbf{I-F})^{-1}\mathbf{G}U(s)+ (s\mathbf{I-F})^{-1}\mathbf{x}(0) \\
\because Y(s)=\mathbf{HX}(s)+JU(s)\\
\therefore Y(s)=\mathbf {H}(s\mathbf{I-F})^{-1}\mathbf{G}U(s)+ \mathbf {H}(s\mathbf{I-F})^{-1}\mathbf{x}(0)+JU(s)
$$

注意：该式即为系统的全响应，零状态响应和零输入响应的叠加

所以系统传递函数为：
$$
G(s)=\mathbf {H}(s\mathbf{I-F})^{-1}\mathbf{G}(s)+J
$$

参考书目

• 《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》——Gene F.Franklin[美]
• 《Modern Control Systems Twelfth Edition》——Richard C. Dorf[美]

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